Thermalspannungen - IHH Engineering

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Thermalspannungen

Knowledge
Thermalspannungen
(Wärmespannungen)
Thermalspannungen basieren grundsätzlich auf der Eigenschaft der Wärmedehnung von Körpern (Werkstoffen) bei Temperaturänderung. Wird diese Wärmedehnung behindert, so kommt es auf Grund der Festkörperelastizität zu Spannungen. Diese Behinderungen können unterschiedliche Ursachen haben:
  • Geometrische Zwängung (der Körper wird an seiner freien Ausdehnung geometrisch gehindert)
  • Materialien mit unterschiedlichen E-Modulen (die thermisch bedingte Ausdehnung verursacht unterschiedliche Spannungen in den Materialien)
  • Temperaturgradienten (örtlich unterschiedliche Wärmedehnungen führen zu einem Spannungsfeld)
Die Grundgleichung, welche in einem Kontinuum die Thermalspannungen beschreibt lautet:
Δ u + 1 1 2 ν ( u ) 2 ( 1 + ν ) 1 2 ν α T = 0 %DELTA bold u+{1} over {1-2%nu} nabla (nabla bold u) -{2(1+%nu)} over {1-2%nu}` cdot %alpha` cdot nabla T~=~0
Hierbei bedeuten:
u : Verschiebevektor = (ux, uy, uz)T
T:   Temperaturfeld = T(x,y,z)
ν:  Querdehnzahl
α:  Wärmeausdehnungskoeffizient

Dieses System von Differentialgleichungen beinhaltet auch Spannungen aus äußere Lasten (Druck, Kräfte), die sich mit den thermisch bedingten Spannungen überlagern. Zur Lösung muss das Temperaturfeld T(x,y,z) bekannt sein, bzw. im Vorfeld berechnet werden.
Analytische Lösungen können nur für einfache Problemstellungen ermittelt werden, heute verwendet man dazu in der Regel die FE-Methode.

I. Spannungen in einem Rohr
    
Für die Temperaturverteilung über der Rohrwand ergibt sich bei gegebenen Temperaturen an der Innen- und Außenwand:
T ( r ) = T i ln r a r + T a ln r r i ln r a r i T(r)= {T_i ln r_a over r + T_a ln r over r_i} over {ln r_a over r_i}
Damit resultieren folgende Thermalspannungsverteilungen über dem Radius r des Rohres:
Axialspannung, Enden eingespannt:
σ x , T = E α 1 ν ν 2 T i T a 2 ln r a r i ν T i r i 2 T a r a 2 r a 2 r i 2 T ( r ) %sigma sub{x,T} = {E %alpha} over {1-%nu} left [ %nu over 2 {T_i - T_a} over {2 ln r_a over r_i}-%nu {T_i r_i^2-T_a r_a^2} over {r_a^2-r_i^2}-T(r) right ]
Axialspannung, Enden frei:
σ x , T = E α 1 ν T i T a 2 ln r a r i T i r i 2 T a r a 2 r a 2 r i 2 T ( r ) %sigma sub{x,T} = {E %alpha} over {1-%nu} left [ {T_i - T_a} over {2 ln r_a over r_i}- {T_i r_i^2-T_a r_a^2} over {r_a^2-r_i^2}-T(r) right ]
Radalspannung:
σ r , T ( r ) = E α 2 ( 1 ν ) T i T a r i 2 r a 2 r i r a r 2 T ( r ) T i r i 2 T a r a 2 r i 2 r a 2 %sigma sub{r,T}(r) = {E %alpha} over {2(1-%nu)} left [ {T_i - T_a} over {r_i^2 - r_a^2} left ( {r_i r_a} over r right )^2 - T(r) - {T_i r_i^2 - T_a r_a^2} over {r_i^2 - r_a^2} right ]
Umfangsspannung:
σ φ , T ( r ) = E α 2 ( 1 ν ) T i T a r i 2 r a 2 r i r a r 2 T ( r ) T i r i 2 T a r a 2 r i 2 r a 2 + T i T a ln r a r i %sigma sub{%varphi,T}(r) = {E %alpha} over {2(1-%nu)} left [ - {{T_i - T_a} over {r_i^2 - r_a^2}} left ( {r_i r_a} over r right )^2 - T(r) - {T_i r_i^2 - T_a r_a^2} over {r_i^2 - r_a^2} + {T_i - T_a} over {ln r_a over r_i} right ]
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