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Thermalspannungen

(Wärmespannungen)

Thermalspannungen basieren grundsätzlich auf der Eigenschaft der Wärmedehnung von Körpern (Werkstoffen) bei Temperaturänderung. Wird diese Wärmedehnung behindert, so kommt es auf Grund der Festkörperelastizität zu Spannungen. Diese Behinderungen können unterschiedliche Ursachen haben:

Geometrische Zwängung (der Körper wird an seiner freien Ausdehnung geometrisch gehindert)
Materialien mit unterschiedlichen E-Modulen (die thermisch bedingte Ausdehnung verursacht unterschiedliche Spannungen in den Materialien)
Temperaturgradienten (örtlich unterschiedliche Wärmedehnungen führen zu einem Spannungsfeld)

Die Grundgleichung, welche in einem Kontinuum die Thermalspannungen beschreibt lautet:

Δ u + \frac{1}{1 - 2 ν} \nabla (\nabla u) - \frac{2 (1 + ν)}{1 - 2 ν} \cdot α \cdot \nabla T = 0

Hierbei bedeuten:

u : Verschiebevektor = (u_x, u_y, u_z)^T

T: Temperaturfeld = T(x,y,z)

ν: Querdehnzahl

α: Wärmeausdehnungskoeffizient

Dieses System von Differentialgleichungen beinhaltet auch Spannungen aus äußere Lasten (Druck, Kräfte), die sich mit den thermisch bedingten Spannungen überlagern. Zur Lösung muss das Temperaturfeld T(x,y,z) bekannt sein, bzw. im Vorfeld berechnet werden.

Analytische Lösungen können nur für einfache Problemstellungen ermittelt werden, heute verwendet man dazu in der Regel die FE-Methode.

I. Spannungen in einem Rohr

Für die Temperaturverteilung über der Rohrwand ergibt sich bei gegebenen Temperaturen an der Innen- und Außenwand:

T (r) = \frac{T_{i} \ln \frac{r_{a}}{r} + T_{a} \ln \frac{r}{r_{i}}}{\ln \frac{r_{a}}{r_{i}}}

Damit resultieren folgende Thermalspannungsverteilungen über dem Radius r des Rohres:

Axialspannung, Enden eingespannt:

σ_{x, T} = \frac{E α}{1 - ν} [\frac{ν}{2} \frac{T_{i} - T_{a}}{2 \ln \frac{r_{a}}{r_{i}}} - ν \frac{T_{i} r_{i}^{2} - T_{a} r_{a}^{2}}{r_{a}^{2} - r_{i}^{2}} - T (r)]

Axialspannung, Enden frei:

σ_{x, T} = \frac{E α}{1 - ν} [\frac{T_{i} - T_{a}}{2 \ln \frac{r_{a}}{r_{i}}} - \frac{T_{i} r_{i}^{2} - T_{a} r_{a}^{2}}{r_{a}^{2} - r_{i}^{2}} - T (r)]

Radalspannung:

σ_{r, T} (r) = \frac{E α}{2 (1 - ν)} [\frac{T_{i} - T_{a}}{r_{i}^{2} - r_{a}^{2}} {(\frac{r_{i} r_{a}}{r})}^{2} - T (r) - \frac{T_{i} r_{i}^{2} - T_{a} r_{a}^{2}}{r_{i}^{2} - r_{a}^{2}}]

Umfangsspannung:

σ_{φ, T} (r) = \frac{E α}{2 (1 - ν)} [- \frac{T_{i} - T_{a}}{r_{i}^{2} - r_{a}^{2}} {(\frac{r_{i} r_{a}}{r})}^{2} - T (r) - \frac{T_{i} r_{i}^{2} - T_{a} r_{a}^{2}}{r_{i}^{2} - r_{a}^{2}} + \frac{T_{i} - T_{a}}{\ln \frac{r_{a}}{r_{i}}}]